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Edificios y Escalas
Enviado por Christopher Schoettle, 10 de febrero de 1997.
Artículo original por Valerio De Angelis, este artículo por Allen Stenger.
Enviamos a nuestros investigadores de campo para poner dos escalas como están
en el dibujo, y para medir su altura en cada edificio. Las escalas tienen longitud
de 15 metros y 20 metros
(y y z en el dibujo).
Volvieron y nos informaron de que habían colocado las escalas sin ningún problema,
pero no podían medir las alturas.
La medida más larga de la cinta que tienen es de 6 metros,
y se informó de que las escaleras definitivamente llegó a más de 6 metros,
pero no podían medir qué tan alto.
Hicieron medida muy cuidadosamente la altura en las escaleras cruzadas
(h en el dibujo),
a una fracción de centímetro, y dicen que
h
es exactamente 576 cm.
Explicaron: "Hay un montón de triángulos en este problema,
estamos seguros de que debe haber alguna forma de averiguar
y y z....
No, nosotros no sabemos cómo hacerlo, nos olvidamos de todo después del examen,
pero debe haber alguna persona lista aquí que pueda entenderlo."
¿Es usted la persona lista en que están pensando?
¿Puede calcular
y y z
de la información dada?
Si no, nos puede enviar los investigadores de vuelta para medir algunas cosas más,
si se puede hacer con una cinta de 6 metros.
¿Hay alguna medida adicional que pueda ser útil?
Sugerencia 1
Sí, la información es suficiente,
pero ya que está leyendo esta sugerencia, asumiremos que no sabe cómo hacerlo todavía.
Vamos a enviar a los investigadores de campo a realizar más mediciones.
La distancia horizontal entre los edificios es más de 6 metros,
pero que se puede medir porque esta en el suelo (pueden medir 6 metros,
marca el punto y luego mover la cinta y continúan de medición).
Si sabemos la distancia x,
¿cómo podemos encontrar y y z?
Sugerencia 2
Con el valor de x es fácil,
porque x es la base de dos triángulos rectángulos en la figura,
y sabemos sus hipotenusas.
Por tanto, el teorema de Pitágoras nos daría las partes que nos faltan,
y y z.
De hecho, si supiéramos x podríamos determinar h.
¿Cómo?
Sugerencia 3
Considere los dos triángulos ABC y EFC.
Es evidente que estos triángulos son similares (tienen los mismos ángulos).
Así que tenemos que
\frac{x}{y} = \frac{FC}{h}
Con el mismo razonamiento para los triángulos similares
BCD y BFE, tenemos
\frac{x}{z} = \frac{x - FC}{h}
La adición de estas ecuaciones se cancela el termino FC,
y hay un factor común x que podemos cancelar. Nos deja
\frac{1}{z} + \frac{1}{y} = \frac{1}{h}
que también se puede dividir por 2 y escribir como
\frac{1}{2} \left( \frac{1}{z} + \frac{1}{y} \right) = \frac{1}{2h}
¿Por qué dividir? Porque ¡reconocemos la media armónica en esta expresión!
No importa lo que las longitudes o ángulos de las escalas:
La altura h de cruce es la mitad de la media armónica de las alturas en las paredes.
Si conocemos x, podemos calcular y y z
del teorema de Pitágoras y, a continuación determinar h de la media armónica.
Ahora, ¡volver al problema original! Supongamos que no sabemos x,
pero sí sabemos h.
¿Cómo podemos determinar y y z?
Haga clic aquí para ver el resto de la respuesta.
El Resto de la Respuesta
Ya tenemos la mayoría de los ingredientes que necesitamos.
Las incógnitas son y y z.
La media armónica nos da una ecuación con estos estos, y el teorema de Pitágoras nos dará otro:
\begin{eqnarray}
x^2 + y^2 &=& r^2 \\
x^2 + z^2 &=& s^2.
\end{eqnarray}
Restando estas nos da
y^2 - z^2 = r^2 - s^2.
La solución de la media armónica para y da y = hz/(z - h)
y sustituyendo en la ecuación anterior nos da
\left( \frac{hz}{z-h} \right)^2 - z^2 = r^2 - s^2,
que podemos multiplicar y simplificar para obtener una ecuación de cuarto grado,
z^4 - 2hz^3 + (r^2 - s^2)z^2 -2h(r^2 - s^2)z +h^2 (r^2 - s^2) = 0.
Sustituyendo en los valores conocidos por r,s,h da la ecuación de cuarto grado
z^4 - \frac{288}{25} z^3 + 175z^2 -2016z + \frac{145152}{25} = 0.
Aquí está el gráfico de esta ecuación:
Parece que tiene una raíz que es de aproximadamente 4, y una raíz que es de aproximadamente 9.
Los investigadores de campo no informaron que la altura era superior a 6 metros,
y en todo caso deberá ser superior a la altura de cruce de 5.76 metros,
por lo que se puede rechazar la raíz cerca de 4.
Sustituyendo 9 en esta ecuación fea muestra que ¡el 9 es en realidad una raíz exacta!
Así que sabemos que z = 9 metros,
y de la media armónica determinamos que la figura y = 16 metros.
Media Armónica y el Trapecio
Probablemente ya sabe el teorema de que la mediana de un trapecio
tiene una longitud de la media aritmética de las bases:
(La mediana se define como la línea que divide las ambos lados en partes iguales.)
Un hecho menos conocido es que la línea a través de la intersección de las diagonales
y paralelas a las bases ¡dé la longitud de la media armónica de las bases!
Vea si puede probar esto, ya tenemos todos los ingredientes en la Sugerencia 3.
(Las escalas son las diagonales, y el trapecio yace en su lado.)
Referencias
Los griegos antiguos metódicamente han definido diez diferentes tipos de medios,
pero siete de ellos desaparecieron sin dejar rastro.
De las tres restantes sólo la media aritmética se hace mucho uso en la actualidad,
los otros dos supervivientes (media geométrica y media armónica) son a veces útiles.
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(en inglés) Esta página
en Páginas de Matemáticas explica los diez medias griegas.
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(en inglés) Esta página de Math Forum
muestra algunas aplicaciones de la media armónica.
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Este problema se discute en: Martin Gardner, Circo Matemático,
"Los elegantes triángulos" (capítulo 5).
Se puede leer en linea aquí.
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(en inglés) El problema se describe en este artículo de Wikipedia
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