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Un Exceso de Divisores
Enviado por Johannes Gerheim-Berding, 8 de febrero de 2001.
Respuesta original y este artículo por Allen Stenger.
¿Cómo se puede demostrar que el conjunto de divisores positivos de un (positivo)
número entero
n
contiene al menos tantos elementos que termina con
1
o
9
como elementos que termina con
3
o
7
?
Por ejemplo, los divisores de
63
son
1, 3, 7, 9, 21, 63
;
así
3
divisores terminan con
1
o
9
,
y
3
divisores terminan con
3
o
7
.
Para otro ejemplo, los divisores de
441
son
1, 3, 7, 9, 21, 49, 63, 147, 441
;
así
5
divisores terminan con
1
o
9
,
y
4
divisores terminan con
3
o
7
.
Sugerencia 1
Una manera de pensar acerca de este problema es contar todos los divisores
con diferentes pesos: Cuente los que terminan con
1
o
9
con peso
+1
,
los que terminan con
3
o
7
con peso
-1
,
y cualquier otros divisores con peso
0
.
Entonces, queremos mostrar el peso total nunca es negativo.
Para formalizar esto, vamos a definir una función peso:
Sí
d
es divisor de
n
,
definimos
w(d) = +1
sí
d
termina en
1
o
9,
definimos
w(d) = -1
sí
d
termina en
3
o
7,
y
w(d) = 0
para los otros divisores. Entonces queremos demostrar que
\sum_{d|n} w(d) \ge 0.
(¿Estamos en mejor situación, o es sólo un formalismo vacío? No lo sabemos todavía,
pero las sumas de todos los divisores son muy usadas en la teoría de números, por lo que es
una formalización prometedor.)
Sugerencia 2
Este problema es sobre los factores y divisores, por lo que es natural preguntarse si
es posible inferir el valor de
w(d)
de los valores de los
w
en los divisores de
d.
Si es así, podemos esperar obtener algún tipo de demostración recursiva.
Pruebe algunos ejemplos, ¿ve algún patrón?
Sugerencia 3
Por ejemplo,
63 = 7 \cdot 9
.
Los valores de
w
son
w(63) = -1, w(7) = -1, w(9) = 1
,
y
w(63) = w(7) \cdot w(9)
.
Otro ejemplo:
21 = 3 \cdot 7
.
Los valores de
w
son
w(21) = 1, w(3) = -1, w(7) = -1
,
y
w(21) = w(3) \cdot w(7)
.
¿Puede demostrar en general que
w(r \cdot s) = w(r) \cdot w(s)
?
En la teoría de números tales funciones se llaman "completamente multiplicativas".
Sugerencia 4
Demostramos por casos.
-
Si
r
es par, o divisible por
5
,
entonces
w(r) = 0
,
pero también
r \cdot s
es par o divisible por
5
y luego
w(r \cdot s) = 0
.
-
Si
r
y
s
ambos terminan en
1
o en
9
,
su producto termina en
1
o
9
( 9 \cdot 9 = 81),
así
w(r \cdot s) = w(r) \cdot w(s)
en este caso.
-
Si
r
y
s
ambos terminan en
3
o
7
,
su producto termina en
1
o
9
(3 \cdot 3 = 9, 3 \cdot 7 = 21),
así otra vez
w(r \cdot s) = w(r) \cdot w(s)
.
-
Si uno de
r
y
s
termina en
1
o
9
y el otro termina en
3
o
7
,
su producto termina en
3
o
7
(
1 \cdot 3 = 3
,
1 \cdot 7 = 7
,
9 \cdot 3 = 27
,
9 \cdot 7 = 63),
así es verdad en este caso también.
Este resultado implica que el valor de
w
se puede calcular por la descomposición en factores primos, por ejemplo,
w(63) = w(3)^2 \cdot w(7)
.
Piense acerca de cómo utilizar este hecho para escribir la suma sobre todos los divisores
de una manera diferente, con la participación de los divisores primos de
n.
Haga clic aquí para ver el resto de la respuesta.
El Resto de la Respuesta
La suma de todos los divisores se puede escribir como un producto
sobre los divisores primos.
Por ejemplo,
\begin{eqnarray}
\sum_{d|63} w(d) &=& w(1) + w(3) + w(7) + w(9) + w(21) + w(63) \\
&=& w(1) + w(3) + w(7) + w(3^2) + w(3 \cdot 7) + w(3^2 \cdot 7) \\
&=& \left( w(1) + w(3) + w(3^2) \right) \left( w(1) + w(7) \right).
\end{eqnarray}
Y, en general, si
n = \prod_{p_i | n} p_i^{a_i},
entonces tenemos
\sum_{d|n} w(d) = \prod_{p_i | n} \left( w(1) + w(p_i) + \cdots + w(p_i^{a_i}) \right),
porque cada número entero
d
tiene una factorización única en primos.
¡Ahora estamos cerca al fin! La observación clave es que ningún término de
este producto es negativo.
¿Por qué? Debido a que en el producto cada
w(p_i)
es
1
(y esa suma es claramente positiva) o
-1
(y esa suma es
1
o
0
,
dependiendo del número de términos,
y nunca es negativa), o
0
(esa suma es
1
).
El producto total contiene únicamente términos no negativos, por lo que no es negativo.
Residuos Cuadráticos
Esta demostración no explica la situación al parecer especial de
1
y
9
en comparación con
3
y
7
.
¿Por qué hay más divisores con
1
y
9
que con
3
y
7
en lugar de al revés, o en lugar de ser al azar?
Debido a que sólo estamos mirando el último dígito de cada divisor,
trabajamos módulo
10.
Si trabajamos con un módulo general
m
decimos que el número
n
es un
residuo cuadrático
módulo
m
si existe un número entero
x
tal que
x^2 \equiv n \pmod{m}
y si no existe tal número entero, decimos que
n
es
no-residuo cuadrático
modulo
m.
Puede averiguar todos los residuos cuadráticos por formar los cuadrados
de todos los números reducidos a eso módulo, y los no-residuos son los demás.
Por ejemplo, módulo
10
los residuos son
0, 1, 4, 5, 6, 9
y los no-residuos son las otras clases,
2, 3, 7, 8.
Notamos que los clases "con exceso"
1
y
9
ambos son residuos cuadráticos, y lo demás
3
y
7
son no-residuos cuadráticos. ¿Coincidencia?
La teoría de los residuos cuadráticos módulo un primo es mucho mejor que
de la teoría de un módulo general, y la mayoría de los resultados son para los
módulos primos. Una propiedad muy importante para un módulo primo
es que el producto de cualquiera de los dos residuos o de cualquiera de los dos no-residuos
es un residuo, mientras que el producto de un residuo y un no-residuo es
un no-residuo. Esta es exactamente la propiedad que se encontramos en Sugerencia 4
para nuestra pesos!
Es verdad que
10
no es un número primo, pero sus propiedades acerca de residuos cuadráticos son casi
las mismas que son para su divisor primo
5.
Así que el estatus especial de los divisores que terminan en
1
y
9
es que son cuadrados módulo
10.
Referencias
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