Hallar siete números enteros, todos diferentes,
x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7
tal que
1/x_1 + 1/x_2 +
1/x_3 + 1/x_4 + 1/x_5 + 1/x_6 +
1/x_7 = 1
(¿Cómo sería si hubiéramos pedido seis números tales? ¿U ocho?)
Observación.
Fracciones con un
1
en el numerador se llaman fracciones unitarias,
Un suma de fracciones unitarias distintas se llama una
fracción egipcia.
Los antiguos egipcios no tenían un concepto plenamente desarrollado de fracciones,
sino que realiza cálculos fraccionados con una representación
de la fracción como una suma de fracciones de unidad como lo estamos haciendo aquí.
Este método se describe en detalle en un antiguo documento
que hoy se llama el Papiro Rhind (en honor de su propietario)
o el Papiro de Ahmes (en honor de su escribano).)
El Resto de la Respuesta
Sí. Un ejemplo es
1/2 = 1/3 + 1/6
y mas generalmente
1/n = 1/(n+1) + 1/(n(n+1))
.
Este truco nos permite comenzar con
1 = 1/1 = 1/2 + 1/(1(2))
y seguimos, aumentando el número de fracciones de 1 en cada paso.
Sólo tenemos que tener cuidado de que no tenemos ningún duplicados.
Aquí hay una manera de terminar con 7 (o 6 o 8) fracciones:
1 = 1/1
1 = 1/2 + 1/2
(no vale, no podemos hacerlo con dos fracciones distintas)
1 = 1/2 + 1/3 + 1/6
(sustituir 1/2)
1 = 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/12
(sustituir 1/3)
1 = 1/2 + 1/5 + 1/6 + 1/12 + 1/20
(sustituir 1/4)
1 = 1/2 + 1/5 + 1/7 + 1/12 + 1/20 + 1/42
(sustituir 1/6)
1 = 1/2 + 1/6 + 1/7 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42
(sustituir 1/5)
1 = 1/2 + 1/6 + 1/8 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 + 1/56
(sustituir 1/7)
Aquí se convierte siempre la primera fracción posible.
¿Es siempre posible convertir una fracción y no tener una colisión
con una fracción? Sí, porque siempre se podía convertir la última
fracción (la con el mayor denominador).
Números de Euclides
En el ejemplo anterior, para mantener pequeños los denominadores en la
respuesta final, partimos la fracción más grande
(la con el menor denominador),
mientras que no produjo una colisión con una fracción.
¿Qué pasaría si nos fuimos al otro extremo,
y tratamos de obtener el denominador más grande posible?
Se podría tratar de usar el mismo tipo de partición,
pero siempre partir la fracción más pequeña (el mayor denominador).
Entonces llegamos a las representaciones
1 = 1/1
1 = 1/2 + 1/2
1 = 1/2 + 1/3 + 1/6
como antes, pero después de que tendríamos que
1 = 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/42
1 = 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/43 + 1/1806
1 = 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/43 + 1/1807 + 1/3263442
1 = 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/43 + 1/1807 + 1/3263443
+ 1/10650056950806
1 = 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/43 + 1/1807 + 1/3263443
+ 1/10650056950807 + 1/113423713055421844361000442
Estas son fracciones impresionantes,
cada denominador es aproximadamente el cuadrado del denominador anterior.
Es difícil creer que los denominadores grandes realmente cancelar,
dejándonos un entero simple, pero lo hacen.
Estas cifras se denomina a veces números de Euclides,
por analogía con la prueba de Euclides de que hay una infinidad de números primos.
Números de Euclides se puede definir de manera más formal mediante un recursividad:
e_1 = 2; \quad e_{n+1} = e_1...e_n + 1
de modo que tenemos una identidad para todos los
n
1 = 1/e_1 + ... + 1/e_n + 1/(e_{n+1} - 1)
Los números de Euclides aparecen debido a la regla especial de la división
que hemos elegido, y por supuesto hay muchas otras maneras para formar
fracciones que se suman a
1 .
Aquí es un desafío para usted (es muy difícil):
Demostrar que las soluciones usando números de Euclides
da los denominadores más grandes posibles,
en que si
1
es la suma de fracciones de unidad
1 = 1/x_1 + ... + 1/x_n
entonces cada
x_k \le e_n.
La Conjetura Erdös-Straus
Hay muchos problemas no resueltos sobre fracciones unitarias.
Tal vez el más famoso es la
Conjetura Erdös-Straus
,
debido a Paul Erdös y E. G. Straus.
Su conjetura es que, para cualquier entero positivo
n,
hay una solución en números enteros positivos de la ecuación
4/n = 1/x + 1/y + 1/z.
Este artículo considera el caso
n = 4,
que tiene la solución
x = 2,
y = 3,
y z = 6.
La Conjetura Erdös-Straus ha sido verificada para todos los
n < 10^8
y para números
n
tener muchas formas especiales, pero el problema general sigue sin resolver.
Referencias
