Un abrevadero con la sección transversal trapezoidal está formado por el giro
de los bordes de una hoja de aluminio de 30 centímetros de ancho.
He rotulado la base inferior como 30-2x
donde x es la longitud de las piezas girado.
Quiero encontrar la sección transversal con superficie máxima.
(Nota. Este problema puede ser resuelto por cálculo,
aunque es difícil porque hay que maximizar con respecto a dos variables
al mismo tiempo (es decir, el ángulo de giro y la longitud de las piezas giradas).
En este artículo vamos a investigar una técnica elemental geométrica que se puede
utilizar para resolver este y muchos otros problemas.
Si usted no puede pensar en una solución geométrica,
resolverlo utilizando el cálculo, a continuación, pensar en su respuesta final y pensar
si podría haber un método geométrico para conseguir la respuesta misma.)
Sugerencia 1
Haz un dibujo del abrevadero,
entonces dibujar una imagen especular que se refleja
en la parte superior abierta del abrevadero.
Esto le da dos piezas de aluminio que forman un tubo cerrado.
El perímetro de la cruz de la tubería de sección es el doble de la anchura
de la lámina de aluminio, es decir, 60 cm, y la área es el doble del área
de la sección transversal del abrevadero.
Por lo tanto cualquier forma da el tamaño a través de máxima también
da la máxima dimensión de la tubería, y viceversa.
Además, el tubo de sección transversal es una figura de seis lados.
Ahora es fácil terminar:
De todas las figuras de seis lados, con un perímetro determinado,
¿cuál tiene el área más grande?
Haga clic aquí para ver la respuesta completa.
El Resto de la Respuesta
Es un hecho de la geometría que, de todas los n-ágonos
con un perímetro determinado, el n-ágono regular tiene la mayor área.
Un ejemplo conocido es el 4-ágono o cuadrilátero;
de todos los cuadriláteros con un perímetro dado,
el cuadrado tiene el área más grande.
Por lo tanto nuestra tubería cuenta con la mayor sección transversal cuando
se trata de un hexágono regular, y el abrevadero que cuenta con la mayor
sección transversal es la mitad de un hexágono regular.
Un hexágono regular tiene seis lados iguales y seis ángulos iguales interiores
de 120 grados cada uno, así que la respuesta de nuestro canal es que
x = 10
y los ángulos interiores
A = 120
grados.
Truco de Espejo y Optimizar sin Cálculo
Este idea puede llamarse "truco de espejo".
En muchos casos una optimación que parece complicado se puede reducir
a un problema mas fácil mediante la formación de una imagen especular.
Mas abajo son algunos ejemplos más para ejercitar.
Ivan Niven ha escrito un libro,
Maxima and Minima Without Calculus
(Máximos y Mínimos sin Cálculo),
que demuestra cómo resolver muchos problemas de optimación
sin usar el cálculo. Este libro llama el truco de espejo
"principio de reflejo" y da mas ejemplos en la
sección 3.6, "The Reflection Principle", pp. 63-67.
El Corral Rectangular Mas Grande
Este es un ejercicio familiar de cálculo que se puede hacer con el Truco de Espejo.
Supongamos que ya tenemos una cerca, y queremos construir un corral rectangular
al lado de ella, de la área máxima, usando un lado de la cerca como un lado
del corral.
Tenemos 100 metros de valla para construir el corral.
¿De qué tamaño debemos construirlo?
El Corral Triangular Mas Grande
En este problema similar queremos construir un corral triangular
de la área máxima,
usando un lado de la cerca.
Tenemos 300 metros de valla para construir el corral.
¿De qué tamaño debemos construirlo?
El Camino Más Corto al Incendio
Este problema se encuentra en muchos libros de cálculo.
Supongamos que necesitamos apagar un incendio
con un balde de agua, pero primero tenemos que correr al río con
el balde para llenarlo. ¿Cuál es el camino más corto?
(Sugerencia: reflejar el fuego a través del río.)
Hay un problema de física real acerca de los espejos que utiliza la misma imagen
y solución:
Si usted desea brillar un rayo de luz en un espejo para reflejar
y alcanzar algún punto determinado, ¿a dónde lo apuntaría?
(Física dice que la luz sigue la trayectoria más corta.)
Bola de Billar
(George Pólya)
El Truco de Espejo se puede utilizar para otros tipos de problemas también.
Supongamos que colocamos una bola en una mesa de billar en alguna posición
arbitraria. Queremos conducir la bala de tal manera que se rebotan en los
cuatro lados de la mesa y vuelve a su posición original.
¿En qué dirección debemos conducir la bala?
Referencias
-
(en ingles) Puede ver la pregunta original de Dan
aquí.
-
(en ingles) Puede ver la pregunta sobre el corral triangular
aquí.
-
(en inglés) Ivan Niven,
Maxima and Minima Without Calculus,
Mathematical Association of America, 1981.
