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El Carril Combado
Enviado por Miran de Louisville, Kentucky, 18 de enero de 2000.
Respuesta original por Esther Fontova;
este artículo por Allen Stenger.
Una vía de ferrocarril de largo una milla está anclada en ambos extremos.
En un día caluroso el carril expande un pie y comba.
Aproximadamente, ¿qué es el alto sobre la tierra es en su punto medio?
(Una milla es 5280 pies.)
[Nota del editor: (1) Puede asumir el carril combado tiene la forma
de un arco de un círculo. Libros de Resistencia de Materiales asumiría una
forma parabólica.
(2) El problema pide una "aproximación"
Trate de obtener límites superior e inferior de la verdadera altura.]
Sugerencia 1
Haga un dibujo. Incluya el radio del arco.
Sugerencia 2
Aquí hay un dibujo (no a escala).
Los dos arcos marcados
c
son el carril combado, y los dos segmentos marcada
d
son la recta que une los extremos del carril; la linea yace al suelo.
Hemos utilizado letras aquí para todas las medidas, ya sabemos que
2c = 5281 pies y
2d= 5280 pies. Si supiéramos la longitud k se podría calcular la
altura h usando el teorema de
Pitágoras, pero no sabemos k. Trate de obtener una cota superior para k
(esto es fácil),
y utilizarlo para obtener una cota superior para h.
Luego, tratar de conseguir un límite inferior para
k (este es mucho más difícil)
y utilizarlo para obtener un límite inferior para h.
Sugerencia 3
El fácil obtener un límite superior de c
para k
(k es una línea recta, por lo que su longitud es menor que
cualquier otra curva entre los extremos del mismo).
Por lo tanto, tenemos una cota superior para h,
h=\sqrt{k^2-d^2} < \sqrt{c^2-d^2} = \sqrt{2640.5^2-2640^2} = \sqrt{2640.25} < 51.39 \mathrm{\ pies}.
Esto parece demasiado grande, fíjete en que un simple aumento en la longitud de 1 pie por
una longitud de
1 milla aumentaría el punto medio de 51 pies! Por supuesto, nuestra figura es un límite superior, por
lo que el valor real podría ser mucho más pequeño. Vamos a investigar un límite inferior.
Los siguientes tres sugerencias dan una forma de obtener un límite inferior para k.
Sugerencia 4
Demostrar que
k > (d + c)/2
y utilizar esto para obtener el límite inferior para h.
Sugerencia 5
Escriba la longitud como expresión de r
y el ángulo \alpha.
Podemos obtener estas cantidades de las definiciones del
seno, del ángulo (en términos de longitud de arco),
y por bisectriz del ángulo \alpha
para obtener un triángulo rectángulo con hipotenusa de largo
r
y un lado de largo
k/2.
Obtenemos
\begin{eqnarray}
d &=& r \sin \alpha \\
c &=& r \alpha \\
\frac{k}{2} &=& r \sin \frac{\alpha}{2},
\end{eqnarray}
y queremos demostrar que
2 r \sin \frac{\alpha}{2} > \frac{r \sin \alpha + r \alpha}{2};
o, escribiendo \beta=\alpha/2,
\sin \beta > \frac{\sin 2\beta}{4} + \frac{\beta}{2}.
Sugerencia 6
Dibuje un sector del círculo unitario.
Demostramos la desigualdad mediante el uso de las tres áreas en la figura:
Figuras
A y A+B
son triángulos con altura
\sin \beta
y con los bases
\cos \beta
y 1 respectivamente, y
A+B+C
es un sector circular de ángulo
\beta.
Por tanto los áreas son
(usando área = (1/2) base por altura o área = (1/2) longitud de arco):
\begin{eqnarray}
A &=& \frac{1}{2} \sin \beta \cos \beta = \frac{1}{4} \sin 2\beta \\
A+B &=& \frac{1}{2} \sin \beta \\
A+B+C &=& \frac{\beta}{2}.
\end{eqnarray}
Del dibujo, el área B
es la mitad de la área del rectángulo abcd,
y la tajada C forma parte de la otra mitad
y por tanto B>C.
Las ecuaciones anteriores se nos dé la desigualdad
\left( \frac{1}{2} \sin \beta - \frac{1}{4} \sin 2\beta \right) > \left(\frac{\beta}{2} - \frac{1}{2} \sin \beta \right)
y por tanto
\sin \beta > \frac{\sin 2\beta}{4} + \frac{\beta}{2},
que es lo que queríamos demostrar.
Ahora podemos determinar una cota inferior para h.
Haga clic aquí para ver el resto de la respuesta.
El Resto de la Respuesta
La cota inferior es
k > \frac{d+c}{2} = \frac{2640+2640.5}{2} = 2640.25
h = \sqrt{k^2 - d^2} > \sqrt{2640.25^2 - 2640^2} = \sqrt{1320.0625} > 36.33 \mathrm{\ pies}.
Así sabemos que la verdadera altura en el punto medio en realidad está entre
36.33 pies y 51.39 pies, ¡causado por un pequeño aumento de 1 pie en la longitud total!
Observe cómo la respuesta es sensible a las incertidumbres pocas en la longitud
k; sabemos que k esta entre
2640.25 y 2640.5, una tolerancia de 1/4 pie, pero
¡esto provoca una incertidumbre en la altura de alrededor de 15 pies!
Una Estimación Más Precisa
Otra manera de resolver este problema es determinar el ángulo
\alpha.
Por dividir las dos primeras ecuaciones en Sugerencia 5 obtenemos
\frac{\sin \alpha}{\alpha} = \frac{2640}{2640.5}.
Desafortunadamente, no hay solución explícita de esta ecuación,
por lo que tiene que obtener una aproximación numérica.
Puede hacer esto con el cálculo, o se puede resolver con una calculadora gráfica
tal como la TI-83 Plus.
Entonces puede calcular
r y entonces h.
La referencia de Acton hace esto,
y la respuesta es \alpha=0.033708 y
h=44.499 pies.
Referencias
- (en inglés) Forman S. Acton, Numerical Methods That Work,
Mathematical Association of America, 1990, pp. 3-4, 67-69.
Produce una estimación más precisa.
- (en inglés) "The Buckled Rail: Three Formulations" by James E. Mann, Jr.;
College Mathematics Journal, v. 29 no. 2 (March 1998), pp. 138-141.
Este artículo considera tres modelos para la forma
del carril combado: triangular, circular (nuestro modelo), y sinusoide.
- (en inglés) Haga clic
aquí para ver la pregunta original enviado por Miran.
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