La Moneda Falsa

Tiene ocho monedas que tienen el mismo aspecto, pero una es falsa. Sabe que la moneda falsa es más pesada que las demás. ¿Cómo puede saber cuál es la falsa, utilizando una balanza sólo dos veces? (La balanza tiene dos platillos, pero sin pesas, se puede colocar cualquier combinación de monedas en los platillos y luego observar si las monedas en cada platillo pesa lo mismo, o si una colección es más pesado que el otro.)

La pregunta original no incluía la información que el la moneda falsa es más pesado, pero sin esa información incluso el MathNerds no podrían hacerlo. ¿Y usted?

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Sugerencia 1

Comience con algo pequeño. Trate de resolver este problema en cambio: Tiene 3 monedas, y uno es falso y más pesado que los otros. Encontrarla en un pesaje. (Si esto es demasiado difícil, comience aún más pequeño: supongamos que usted sólo tiene 2 monedas; encontrar la moneda falsa en un pesaje.)

Sugerencia 2

Con tres monedas de, lo único razonable que puede hacer es elegir cualquiera dos de ellas y poner uno en cada platillo. Hay tres posibilidades:

1. platillo izquierdo es mas pesado
2. los platillos pesan lo mismo
3. platillo derecho es mas pesado

Explicar cómo se puede deducir la moneda pesada en cada posibilidad.

Sugerencia 3

La primera y la tercera posibilidades son fácil: sabemos que la moneda falsa es más pesada, por lo que el platillo que es mas pesada tiene la moneda falsa. El segundo posibilidad es sólo un poco más difícil: la moneda falsa es mas pesado que las otras, por tanto si las monedas en la balanza pesan lo mismo, ninguna de ellas es falsa, y por un proceso de eliminación la tercera moneda (que no esta en la balanza) es falsa.

Empezamos con un problema pequeño y la hacemos resuelto. Ahora vamos a utilizar esa solución para resolver un problema mayor. Explicar la forma de realizar dos pesadas de ocho monedas, de modo que el pesaje segundo coincide con el paso de hemos utilizado para tres monedas.

El Resto de la Respuesta

Para aplicar la solución de las tres monedas, tenemos que aislar la moneda falsa a un grupo de tres monedas, con un solo pesaje, y de hecho, puede utilizar la misma idea. Divide las ocho monedas en grupos de tres, tres, y dos monedas, entonces pesar los dos grupos de tres unos a otros. Así como en el problema de tres monedas, si un platillo es más pesado, esa contiene la moneda falsa, y si los platillos pesan lo mismo, la otra grupo de dos monedas contiene la moneda falsa. Si uno de los grupos de de tres contiene la falsa, podemos encontrarla en uno más de peso utilizando la solución de tres monedas. Si el otro grupo de dos contiene la falsificados, lo podemos encontrar en uno más de peso por un pesaje entre los dos monedas de uno contra otro.

Tenga en cuenta que podríamos haber aislado una moneda falsa en dos pesadas, incluso si tenemos nueve monedas y no ocho, pero si tenemos diez monedas que no podría haber encontrado la falsa por este método. ¿Puedes adivinar una generalización de este método? ¿Cuántas monedas podemos manejar utilizando N pesajes?

¿Y si la moneda falsa podría ser más pesada o más ligera? (El Problema de las Doce Monedas)

¿Qué pasa si sólo se sabía que la moneda falsa tenga una pesada diferente que las monedas de verdad, por lo que podría ser más pesada o más ligera? ¿Todavía podríamos encontrarla? Si sabíamos que era más ligera, se puede utilizar el mismo método (salvo que se elige el lado más ligero como falso en lugar del lado más pesado), pero si solo sabemos que la falsa es un peso diferente, no podríamos utilizar la mismo método. En el problema de tres monedas, si los platillos pesen iguales, sabemos que la tercera moneda sea falso, pero si los platillos no pesen iguales, sólo se sabe que uno de los dos era falso, pero no cuál.

Existen métodos para este problema también, pero son más difícil de descubrir. Este problema se llama Las Doce Monedas o Las Doce Bolsas de Oro. Tenemos doce artículos, y debemos descubrir el elemento falso en tres pesajes. Vea si puede descubrir un método para ello. "Empezar pequeño" sigue siendo una buena idea, así que empieza por descubrir la forma de aislar a la falsa de las tres monedas con dos pesajes. En general, usted no será capaz de reducir la moneda falsa hasta después del pesaje final. Debe pensar en las pesadas, como métodos de recopilación de información sobre las colecciones de monedas, donde al final se reúna toda la información y sacar una conclusión.

Este problema puede ver in otro artículo de Lo Mejor de MathNerds: Las Doce Monedas (o Las Doce Bolsas de Oro).

Otro Problema Popular de Balanzas

Demostrar que con cuatro pesos conocidos de su elección, que puede pesar cualquier número de kilos, de uno pro cuarenta kilos. Usted pone el artículo a pesaren un platillo, y se le permite poner los pesos en cualquier platillo; no necesita las ponen solamente en el otro platillo. Sugerencia: Comience con algo pequeño. Demostrar que con dos pesos conocidos se puede medir uno por cuatro kilos. Otra sugerencia: Muchos problemas de balanza (incluyendo los que hemos visto aquí) usan ternario (base 3) aritmética, implícitamente o explícitamente, porque hay tres posibles resultados de cada pesaje.

Referencias

• (en inglés) Mario Martelli y Gerald Gannon, "Weighing Coins: Divide and Conquer to Detect a Counterfeit" , College Mathematics Journal, Vol. 28, No. 5 (Nov., 1997), pp. 365-367. Este artículo da métodos fáciles de resolver ambos problemas (si sabemos el peso relativo de la moneda falso o si no lo sabemos).
• (en inglés) Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik, Concrete Mathematics. Addison-Wesley, 2nd edition, 1994. En la página 2 encontramos: "Veremos repetidas veces en este libro que es ventajoso para PRIMER MIRAR CASOS PEQUEÑOS". Muchos acertijos matemáticos (y los problemas, incluso los importantes) son abrumadores por el número de artículos utilizados. Ver si puede indicar un problema similar con los números más pequeños y resolver eso, como hemos hecho aquí con el número de las monedas. Esto es útil para casi cualquier rompecabezas que utiliza un gran número de las cosas, como las Torres de Hanoi (64 discos), el problema armario (1000 armarios), encontrar la suma de los primeros 100 números enteros, y muchos más. No diga: "Mi tarea es resolver 8 monedas, no me distraigas con problemas de 3 monedas."