Distribución de \{ n \alpha \}

Preparado por Valerio De Angelis

Demostramos el teorema siguiente:

Teorema A

Sea \alpha un número real, y sea x_n = \{ n \alpha \} la parte fraccionaria de n\alpha.

i) Si \alpha es racional, entonces la secuencia x_n es periódica, y por tanto \{ x_n:n \ge 1 \} es un conjunto finito.

ii) Si \alpha es irracional, entonces x_n es distribuida uniformemente sobre el intervalo [0,1), es decir, para cualquier intervalo I \subseteq [0,1),

\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} | \{ k: x_k \in I, 1 \le k \le n \} | = |I| \quad \quad \mathrm{(1)}.

Demostración de parte i)

Si \alpha = p/q, en que p y q son números enteros, entonces

x_{n+q} = \left\{ (n+q)\frac{p}{q} \right\}= \left\{ n \frac{p}{q} + p \right\} = \left\{n \frac{p}{q} \right\} = x_n.

Por tanto x_n tiene periodo q, y \{ x_n : n \ge 1 \} = \{ x_1, x_2, \dots, x_q \}.

Demostración de parte ii)

Usamos el resultado siguiente básico de análisis real:

Teorema B Cualquiera función continua f(x) definida por [0,1] se puede expresar cómo suma infinita

f(x) = \sum_{j=0}^\infty \left( a_j \sin(2 \pi j x) + b_j \cos (2 \pi j x) \right).

Esto sumo infinito se llama serie de Fourier de la función f(x). Además, si escribimos

S_m(x) = \sum_{j=0}^m \left( a_j \sin(2 \pi j x) + b_j \cos (2 \pi j x) \right),

tenemos

\lim_{m \to \infty} \max_{0 \le x \le 1}|S_m(x) - f(x)| = 0.

La mayoría de los libros de texto de análisis real discuten series de Fourier. No vamos a dar una prueba del Teorema B en estas notas. Para una buena referencia en línea (en inglés), haga clic aquí.

Nota: El significado de la primera declaración en la teorema es que

\lim_{m \to \infty} |S_m(x) - f(x)| = 0

para cualquier x. Es decir, para cualquier x y cualquier \epsilon > 0 (que podemos considerar como un nivel de tolerancia para el error), podemos determinar un N tal que |S_m(x) - f(x)| \le \epsilon cuándo m es mayor que N, pero la cantidad N puede ser diferente para los x diferente. La segunda afirmación es más fuerte: nos dice que, dado un número de la tolerancia \epsilon > 0 para la diferencia |S_m(x) - f(x)|, existe un sólo N tal que, cuándo m es mayor que N, |S_m(x) - f(x)| \le \epsilon es verdad para cualquier x. Esto expresa que la serie infinita converge uniformemente a f(x) sobre [0,1].

Ahora demostramos (1), suponiendo que \alpha es irracional. Para cualquier intervalo I \subseteq [0,1), escribimos \chi_I(x) para la función indicadora de I, es decir,

\chi_I(x) = \begin{cases} 1 & \text{si $x \in I$} \\ 0 & \text{si $x \not \in I$} \\ \end{cases}

Así (1) equivale a:

\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \chi_I(x_k) = |I| \qquad \mathrm{(2)}

Se nota que \int_0^1 \chi_I(x) \, dx = |I|, y (2) significa lo mismo que

\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \chi_I(x_k)= \int_0^1 \chi_I(x) \, dx \qquad \mathrm{(3)}

Demostramos que (3) es verdad para cualquiera función continua f(x) sobre [0,1] (por supuesto, \chi_I(x) no es continua). Así que vamos a demostrar que para cualquier función continua f(x) sobre [0,1]

\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f(x_k) = \int_0^1 f(x) \, dx\qquad \mathrm{(4)}

Sea \epsilon > 0. Usar Teorema B para encontrar algún m tal que la suma parcial S_m(x) = \sum_{j=0}^m ( a_j \sin(2 \pi j x) + b_j \cos (2 \pi j x)) es uniformemente entre \epsilon de f(x), es decir, S_m(x) - \epsilon \le f(x) \le S_m(x) + \epsilon para todo x en [0,1]. Calculamos

\begin{align} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(x_k) &\le \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n (S_m(x_k) + \epsilon) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n S_m(x_k) + \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \epsilon = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n S_m(x_k) + \epsilon \\ &= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \sum_{j=0}^m \left( a_j \sin(2 \pi j x_k) + b_j \cos (2 \pi j x_k) \right) + \epsilon) \\ &= \frac{1}{n} \sum_{j=0}^m a_j \sum_{k=1}^n \sin(2 \pi j x_k) + \frac{1}{n} \sum_{j=0}^m b_j \sum_{k=1}^n \cos (2 \pi j x_k) + \epsilon. \qquad \mathrm{(5)} \end{align}

Consideramos las sumas \sum_{k=1}^n \sin(2 \pi j x_k) y \sum_{k=1}^n \cos(2 \pi j x_k). Para calcular estas sumas, notamos que son las partes imaginaria y real, respectivamente, de la suma \sum_{k=1}^n \exp(2 \pi i j x_k), lo cuál es fácil de calcular para j > 0:

\begin{align} \sum_{k=1}^n \exp( 2 \pi i j x_k) &= \sum_{k=1}^n \exp(2 \pi i j \{\alpha k\}) = \sum_{k=1}^n \exp(2 \pi i j (\alpha k - \lfloor \alpha k \rfloor)) = \sum_{k=1}^n \exp(2 \pi i j \alpha k) \exp( - 2 \pi i j \lfloor \alpha k \rfloor) \\ &= \sum_{k=1}^n ( \exp(2 \pi i j \alpha) ) ^k = \exp(2 \pi i j \alpha) \, \frac{\exp(2 \pi i j n \alpha) - 1}{\exp(2 \pi i j \alpha) - 1} \\ &= \exp(2 \pi i j \alpha) \, \frac{\exp(\pi i j n \alpha)}{\exp(\pi i j \alpha)} \; \frac{\exp(\pi i j n \alpha) - \exp(-\pi i j n \alpha)}{\exp(\pi i j \alpha) - \exp(-\pi i j \alpha)} \\ &= \exp(\pi i j (n+1) \alpha) \, \frac{\sin(\pi j n \alpha)}{\sin(\pi j \alpha)} \\ &= \cos(\pi j (n+1) \alpha) \, \frac{\sin(\pi j n \alpha)}{\sin(\pi j \alpha)} + i \sin(\pi j (n+1) \alpha) \, \frac{\sin(\pi j n \alpha)}{\sin(\pi j \alpha)} \end{align}

El ingrediente crucial para la legitimidad de este cálculo es el hecho de que \alpha es irracional, porque asegura que por cada número entero j no nulo, tenemos \sin(\pi j \alpha) \ne 0.

Así llegamos a la conclusión de que para cada j, entero, fijo y no cero,

\left| \sum_{k=1}^n \sin(2 \pi j x_k) \right| = \left| \sin(\pi j (n+1) \alpha) \, \frac{\sin(\pi j n \alpha)}{\sin(\pi j \alpha)} \right| \le \frac{1}{| \sin(\pi j \alpha) |}

\left| \sum_{k=1}^n \cos(2 \pi j x_k) \right| = \left| \cos(\pi j (n+1) \alpha) \, \frac{\sin(\pi j n \alpha)}{\sin(\pi j \alpha)} \right| \le \frac{1}{| \sin(\pi j \alpha) |}

Esto significa que todos los términos de las cantidades sobre j en (5) tenderá a cero como n se hace grande, excepto el término en la segunda suma con la j = 0.

Dado que las sumas en (5) son finitos, podemos encontrar algún N tal que

\left| \sum_{j=1}^m a_j \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \sin(2 \pi j x_k) \right| \le \epsilon

\left| \sum_{j=1}^m b_j \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \cos(2 \pi j x_k) \right| \le \epsilon

siempre que sea n \ge N. Entonces llegamos a la conclusión de que si n \ge N,

\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(x_k) \le \epsilon + \epsilon + \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n b_0 = b_0 + 3 \epsilon.

Ahora notamos que b_0 = \int_0^1 f(x) \, dx, como se desprende de la integración de la serie de Fourier para f(x) sobre [0,1].

Así que hemos demostrado que dada una \epsilon > 0, podemos encontrar algún N tal que

\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(x_k) \le \int_0^1 f(x) \, dx + 3 \epsilon

siempre que sea n \ge N. En tan sólo de la misma manera podemos demostrar que

\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(x_k) \ge \int_0^1 f(x) \, dx - 3 \epsilon

y llegamos a la conclusión de que \left| \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(x_k) - \int_0^1 f(x) \, dx \right| \le 3 \epsilon para todos N grandes. Esto significa, por definición, que \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f(x_k) = \int_0^1 f(x) \, dx, y (4) se ha demostrado.

Para acabar nuestra demostración, ahora tenemos que demostrar que sigue (3) de (4). La idea es simple: a pesar de que \chi_I(x) no es continua, podemos aproximarla con funciones continuas. Para ser precisos, para cada \epsilon > 0 podemos encontrar una función continua f(x) tal que \chi_I(x) \le f(x) y \int_0^1 f(x) \, dx \le |I| + \epsilon.

Por ejemplo, si I=[a,b], elegimos \delta \le \frac{\epsilon}{2} en el dibujo de abajo para hacer el área sombreada menos de \epsilon, con algunas modificaciones evidentes en un caso de los puntos finales de I es un punto final de [0,1].

dibujo de f y ji

Luego encontramos, para n suficientemente grande,

\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \chi_I(x_k) \le \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(x_k) \le \int_0^1 f(x) \, dx + \epsilon \le |I| + 2 \epsilon.

De manera similar, podemos encontrar una función continua g(x) tal que g(x) \le \chi_I(x) y \int_0^1 g(x) \, dx \ge |I| - \epsilon (tomar la base del trapecio en la figura para estar dentro de I). Entonces, para n suficientemente grande, tenemos

\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \chi_I(x_k) \ge \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n g(x_k) \ge \int_0^1 g(x) \, dx - \epsilon \ge |I| - 2 \epsilon.

En conclusión, hemos demostrado que, dada cualquier \epsilon > 0, tenemos | \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \chi_I(x_k) - |I| \, | \le 2 \epsilon para todo n suficientemente grande, lo que significa que \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \chi_I(x_k) = |I|, y (3) se ha demostrado. Esto concluye la demostración del teorema A.

Notas

El problema de determinar la distribución asintótica de las secuencias determinado por transformaciones simples del intervalo unidad ha sido muy investigado. La secuencia que hemos considerado en este problema surge de la transformación T(x)=x+\alpha \pmod{1} (una traslación por \alpha), porque tenemos x_n = T^n(0). Un problema mucho más difícil es entender la distribución de secuencias derivadas de la multiplicación por un número, por ejemplo, T(x) = \alpha x. Iteración de esta transformación lleva a secuencias como x_n = (3/2)^n \pmod{1}, para las que no se sabe si la distribución asintótica es uniforme.

Una demostración combinatoria y relativamente elemental del teorema A se encuentra (en inglés) en An Introduction to the Theory of Numbers, 6 ed. (2008) por G. H. Hardy y E.M. Wright, Theorem 445, pp. 520-521. Una prueba sucinta a lo largo de las líneas de nuestra exposición es en (en inglés) An Introduction to Ergodic Theory por Peter Walters, Springer-Verlag Graduate Texts in Mathematics, 2000, Theorem 1.8.

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