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El Primer Dígito de 2^n
Enviado por Steven Fuqua, 18 de marzo de 1997.
Respuesta original y este artículo por Valerio De Angelis.
La serie de potencias de 2
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, \dots
produce la serie
a_n
de dígitos primeros de potencias de w (base 10). Así,
a_1=2,
a_2=4,
a_3=8,
a_4=1,
a_5=3,
etcétera. ¿Ocurre el dígito 7 en la serie
a_n?
¿Cuál ocurre más frecuentemente: 7 o 8?
Hallar la probabilidad que 1 ocurra como dígito primero, y lo igual
para
2, 3, 4, ..., 9.
La probabilidad que 5, por ejemplo, ocurra en
a_n
es el límite
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left| \{k: a_k=5, 1 \le k \le n \} \right|.
Sugerencia 1
La solución de este problema necesitará el resultado siguiente:
Teorema A Sea \alpha
un número irracional, y
x_n = \{ n \alpha \}
la parte fraccionaria de
n \alpha.
Entonces la sucesión
x_n
es uniformemente distribuida dentro del intervalo
[0,1).
Eso significa que en cada intervalo
I \subseteq [0, 1)
tenemos/p>
\lim_{n \to \infty}
\frac{1}{n} |\{k: x_k \in I, 1 \le k \le n \}| = |I|.
Intuitivamente, esto significa que la secuencia no "prefiere" cualquiera
parte de I ,
y la proporción de veces
x_n
pasa en un intervalo dado es igual a la longitud del intervalo.
Aceptando la verdad de eso teorema,
nuestro problema puede ser resuelto sin demasiado
esfuerzo. Por otra parte, una demostración del teorema requiere un
esfuerzo, pero también ofrece una buena oportunidad para ilustrar
una serie de importantes nociones y técnicas de Análisis Real
(como la serie de Fourier de funciones continuas,
convergencia uniforme, y los métodos de aproximación de un función definida
pro trozos por funciones continuas).
Haga clic aquí para una demostración de Teorema A.
Sugerencia 2
Cualquier número real x se puede escribir cómo
x = \lfloor x \rfloor + \{ x \},
en que
\lfloor x \rfloor
es la parte entera de
x
y
\{ x \}
es la parte fraccionaria.
Escribir el dígito primero de
2^n
cómo parte entera de una potencia fraccionaria de 10.
Sugerencia 3
Para cada
n \ge 1.
existe un número entero
m \ge 0
tal que
10^m < 2^n < 10^{m+1} \quad \quad \mathrm{(1)}
y escribimos
2^n = a_n 10^m + r, \quad 1 \le a_n \le 9, \quad 0 \le r < 10^m. \quad \quad \mathrm{(2)}
Queremos expresar m y
a_n
cómo funciones explícitas de n.
Tomando logaritmos (en base 10) de (1)
tenemos
m < n \log_{10} 2 < m + 1.
Entonces tenemos
m = \lfloor n \log_{10} 2 \rfloor.
Escribiendo
x_n =\{ n \log_{10} 2 \},
tenemos n \log_{10} 2 = m + x_n,
lo que equivale a
2^n 10^{-m} = 10^{x_n}. \quad \quad \mathrm{(3)}
Al dividir (2) por
10^m,
tenemos
2^n 10^{-m} = a_n + r 10^{-m}.
Desde r10^{-m} < 1,
y usando (3), esta ecuación última implica que
a_n = \lfloor 2^n 10^{-m} \rfloor = \lfloor 10^{x_n} \rfloor.
Hallar subintervalos
I_d
de
[0,1]
tales que
a_n = d
es equivalente a
x_n \in I_d.
Sugerencia 4
Sabemos que a_n = \lfloor 10^{x_n} \rfloor.
Entonces tenemos
a_n = d \iff d \le 10^{x_n} < d + 1 \iff \log_{10} d \le x_n < \log_{10}(d+1).
Si escribimos I_d
para el intervalo
[\,\log_{10} d, \log_{10}(d+1)\,),
tenemos
que el dígito primero a_n de
2^n es igual a d
justo cuando el número x_n
es in el intervalo I_d.
Demostrar que \log_{10} 2 es un número irracional.
Luego usar Teorema A para resolver el problema original.
Haga clic aquí para ver el resto de la respuesta.
El Resto de la Respuesta
Asumamos que \log_{10} 2 es
un número racional, \log_{10} 2 = n/m.
A continuación, se deduce que
2^m = 10^n = 2^n \cdot 5^n,
lo cual es imposible para cualquier n > 0.
Así llegamos a la conclusión de que \log_{10} 2
es irracional.
La pregunta original se puede reformularse de la siguiente manera: para
cada d, ¿con qué frecuencia son los números de
x_n = \{ n \log_{10} 2 \} contenidos en el intervalo
I_d?
Para ser más preciso, la pregunta original es: encontrar
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} |\{k: x_k \in I, 1 \le k \le n \}|.
Pero este es precisamente el contenido del Teorema A: desde
\log_{10} 2
es irracional, el límite es
I_d ,
la longitud del intervalo.
Así que el proporción de tiempo que el primer dígito
2^n es d es igual a
|I_d| = \log_{10} (1 + 1/d).
Tenga en cuenta que esta función disminuye con
d,
así que el dígito 1 ocurre con el mayor frecuencia, y 9 con el menor frecuencia.
La siguiente tabla muestra el largo de
I_d para
d = 1, 2, \dots, 9.
|
d |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
I_d |
0.301 |
0.176 |
0.125 |
0.097 |
0.079 |
0.067 |
0.058 |
0.051 |
0.046 |
La siguiente tabla muestra la distribución verdadera
N(d) = |\{ n: 1 \le n \ne 100, a_n = d\}|
del primer dígito de
a_n para las primeras 100 potencias de 2.
|
d |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
N(d) |
30 |
17 |
13 |
10 |
7 |
7 |
6 |
5 |
5 |
Notas
Debe quedar claro que la misma prueba puede llevarse a cabo para la
primer dígito de
b^n, para cualquier b,
si
\log_{10} b
es irracional. Preguntamos:
¿Es \log_{10} b
irracional cuándo b no es potencia de 10?
La distribución del dígito último de potencias de números enteros
es mucho más regular. ¿Por qué?
La Ley de Benford es un observación sobre el primer dígito de
números que existen en la vida real, y tiene la misma distribución
como nuestro resultado.
Wikipedia tiene un artículo sobre la
Ley de Benford.
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