Inverso de los Dígitos

Incluso en el curso quinto se encuentra las preguntas que a los MathNerds le gustan...

Busque un número de cinco dígitos ABCDE tal que 4 \cdot (ABCDE) = EDCBA. Los dígitos deben ser distintos, y A no deben ser 0.

¿Quiere una sugerencia? Haga clic aquí.

Haga clic aquí para ver la respuesta completa.

Sugerencia 1

Este tipo de problema (llamado criptoaritmo) se resuelve por ensayo y error. Debido a que hay "solamente" 90 000 números de cinco dígitos, podría probar a todos, pero tomaría mucho tiempo. La dificultad en este tipo de problema es pensar en maneras inteligentes de reducir el número de ensayos. ¿Cuáles son algunas de las propiedades de los números de ABCDE y EDCBA que se puede hallar de la ecuación?

Sugerencia 2

Sabemos de la ecuación que EDCBA es un múltiplo de 4, por lo que es par, y A debe ser par. También sabemos que ABCDE tiene 5 dígitos, pero no puede ser un número muy grande con 5 dígitos porque después de multiplicar por 4 todavía es un número de 5 dígitos. Por ejemplo, no podía ser tan grande como 90 000, porque 90 000 multiplicado por 4 es 360 000, un número de 6 dígitos. Use estas ideas para limitar los valores posibles para A y E.

Sugerencia 3

Sabemos que A es par, entonces es 0, 2, 4, 6, o 8. No puede ser 0, porque entonces ABCDE no tenía 5 dígitos. No puede ser 4, 6, o 8, porque entonces 4 \cdot (ABCDE) sería demasiado grande (sería por lo menos 4 \cdot 40\,000 = 160\,000, y no sería 5 dígitos). Por lo tanto, debe ser que A es 2. La multiplicación de inmediato nos dice que E es 4 \cdot 2, posiblemente con un acarreo, por lo que es 8 o 9. No puede ser 9 porque 4 \cdot 9 = 36 y 4 \cdot (ABCDE) terminará en 6, no en 2. Así que hemos hecho un gran progreso! Queremos resolver

Utilice estas mismas ideas para reducir las posibilidades de B y D a un solo número cada uno. Utilice el hecho de que se están multiplicando por 4, y el hecho de que ABCDE no puede ser muy grande.

El Resto de la Respuesta

B debe ser 0, 1, o 2, porque algo más grande haría que el producto 4 \cdot (2BCD8) demasiado grande (no tenía 8 cómo dígito primero). También sabemos por el producto que B es 4 multiplicado por algo, añadido al acarreo 3 desde 4 \cdot 8, así que B es impar y debe ser 1. Entonces 4 \cdot D añadido al acarreo 3 da un número terminado en 1, y tratando cada número de 1 dígito para D vemos que debe ser 2 o 7. No puede ser 2 porque A=2, y debe ser 7. hora estamos cerca de hacer! Sólo tenemos que resolver

y podemos terminar usando las mismas ideas. Tenemos que 4 \cdot 78 es 312, así 4 \cdot C más acarreo de 3 es igual a un número terminado en C. Al tratar todos los posibles valores de 1 dígito nos encontramos con que C es 9. La respuesta final es 4 \cdot (21978) = 87912.

Resolver una Parte del Problema

En su libro Cómo Plantear y Resolver Problemas, Pólya recomienda en muchas condiciones que si usted no sabe cómo resolver el problema, tratar de resolver parte del problema. Así lo hemos hecho aquí: No sabemos cómo encontrar el número de cinco dígitos, pero hemos sido capaces de encontrar uno de los dígitos y continuar desde allí. Hay más acerca de este enfoque en la sección del libro sobre el tema "Enigmas".

Otro Método

Debido a la forma especial de este problema, hemos sido capaces de trabajar con un dígito en un tiempo sin hacer ningún ensayo y error en el número de 5 dígitos. Solucionadores de criptoaritmo frecuentemente no tienen esta suerte y tienen que buscar en un rango de números para encontrar la solución. Aquí están algunas maneras en que esto podría haberse hecho sobre este problema.

Siempre queremos reducir el alcance de la búsqueda tanto como sea posible antes de iniciar la búsqueda de fuerza bruta. Como antes de que podamos decir de la ecuación que A es par, y que es 2, porque de lo contrario el producto se demasiado grande. Esto significa que en lugar de buscar en todos los 90 000 números de 5 dígitos sólo tenemos que buscar en la 10 000 que empiecen con 2. También podemos reducir el número de posibilidades de uso de las ideas de la prueba del 9 y de la prueba del 11. Mirando la ecuación módulo 9, vemos que 4 multiplicado por la suma de los dígitos es igual a la suma de los dígitos, por lo tanto 3 multiplicado por la suma de los dígitos es 0 (módulo 9), y por lo tanto 3 divide la suma de los dígitos, y por lo tanto 3 divide ABCDE. Mirando la ecuación módulo 11, tenemos

así 3(A - B + C - D + E) \equiv 0 \pmod{11} así que el número original ABCDE es múltiple de 11. Ahora hemos reducido el problema a pruebas de números de 5 dígitos que comienza con 2 y son un múltiplo de 33; hay cerca de 300 de estos (en comparación con el 90 000 con que empezamos) y usted puede escribir y probar estos en pocos minutos.

Desafío: Use estas ideas para investigar la ecuación (aparentemente) más simple 2 \cdot ABCD = DABC.

Desafío: La solución al problema 5-dígitos, 21978, tiene muchos factores además de 3 y 11; la factorización en números primos es 21978 = 2^1 \, 3^3 \, 11^1 \, 37^1, y una factorización especialmente interesante es 21978 = 22 \cdot 999 que nos recuerda de la prueba del 9. ¿Hay alguna forma de deducir algunos de estos factores directamente de la ecuación, o es la aparición de estos factores sólo una coincidencia?

¿Es Ensayo y Error un "Método" Verdadero?

Sí, aunque como un campo intelectual pertenece más a la Ciencias de la Computación que a las matemáticas. El campo de la Inteligencia Artificial, en particular, se ocupa principalmente de con formas sistemáticas de realizar ensayo y error. Por ejemplo, máquinas de ajedrez realizan una búsqueda muy rápida de la consecuencias (para los siguientes movimientos) de cada movimiento posible de la la posición actual, y utilizan los resultados para decidir la mejor jugada siguiente. Una búsqueda exhaustiva de todas las posibilidades tomaría demasiado largo, por lo que estos máquinas utilizan muchos heurísticas para decidir qué caminos valen la pena.

Referencias

• George Pólya, Cómo Plantear y Resolver Problemas, Editorial Trillas, México, D.F., 1965. "Enigmas", pp. 85-87
• (en inglés) Peter Norvig, Paradigms of Artificial Intelligence Programming: Case Studies in Common Lisp, Morgan Kaufmann, 1992. Inteligencia artificial.
• Cryptarithmetic Puzzle Solver (Resolver Problemas Criptoaritmos) sólo resuelve problemas de adición, pero también puede hacer nuestro problema porque se puede escribir como ABCDE + ABCDE + ABCDE + ABCDE = EDCBA (¡Probarlo!).