Factorizar Esto

Factorizar la expresión A^3(B-C) + B^3(C-A) + C^3(A-B).

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Sugerencia 1

Tenga en cuenta que la expresión es cero si B = C, o si A = C, o si A = B. Esto significa que B - C, C - A, A - B todos deben ser factores de la expresión. Si factorizamos estos, ¿qué queda?

Sugerencia 2

Hay algunos maneras de encontrar el factor restante. El método de "fuerza bruta" es la de multiplicar por la expresión original, utilizar la división larga polinómica para sacar los factores conocidos, a continuación, ver lo que queda. Pero hay otra manera puede razonar el factor restante. Mira las simetrías en la expresión original y en los factores conocidos; ¿qué es lo que nos dicen acerca de los factores restantes?

Sugerencia 3

La expresión original tiene una simetría circular en A, B, C; es decir, si sustituye A para B, B para C, y C para A, obtiene la expresión misma. Si hace este sustitución en los factores conocidos (B-C) (C-A) (A-B) también obtiene la misma expresión de nuevo. Entonces, ¿qué?

El Resto de la Respuesta

El factor restante es el cociente de dos expresiones que tienen la propiedad de simetría circular, por lo que también debe tener la propiedad de simetría circular. Debido a que el factor es lineal, la única posibilidad que es que es un factor constante multiplicado por (A + B + C), es decir, k(A + B + C), y la factorización final es

A^3(B-C) + B^3(C-A) + C^3(A-B) = k(B-C)(C-A)(A-B)(A+B+C).

Hallamos k por mirando (por ejemplo) la coeficiente de A^3B, que a la izquierda es 1 y a la derecha es -k, así k = -1, y la factorización completa es

A^3(B-C) + B^3(C-A) + C^3(A-B) = -(B-C)(C-A)(A-B)(A+B+C).

Otro Método: De Dónde Viene Este Problema?

Este problema se puede resumir como "considerar esta expresión fea y averiguar algo sobre ella." Hay miles (quizá millones) de problemas de matemáticas y acertijos que tienen esta forma. El autor del problema sabe de dónde viene la expresión, pero nosotros no lo sabemos. Frecuentemente, si se puede adivinar de dónde viene, usted puede resolver el problema de una manera sencilla.

Ya hemos notado que hay una simetría circular en las variables, y que la expresión es 0 si dos variables son iguales. También hay una anti-simetría por la transposición: si intercambia cualquiera dos variables, el valor de la expresión hace el negativo de sí mismo. Estas propiedades deben hacer que empezar a pensar acerca de los determinantes, ya que tienen muchas de esas mismas propiedades, y usted debe pensar acerca de si la expresión es la expansión de la algunos determinantes. Un poco de experimentación demuestra que es igual a la siguiente determinante, como se puede expansionarse en menores de la fila superior:

No sabemos si es allí donde la expresión vino, pero es interesante, sobre todo porque vemos que se puede evaluar el factor determinante de otra manera por la eliminación de la 1 de la fila de abajo:

Simetrías y Invariancia

Muchos de los problemas matemáticos y físicos han simetrías naturales, y a menudo puede utilizar estos para ayudar a resolver el problema. Un aspecto que hace uso intensivo de las simetrías es la teoría de ecuaciones y Teoría de Galois. La observación clave es que los coeficientes de un polinomio son funciones simétricas de sus raíces, por ejemplo, si las raíces de x^2 - ax + b = 0 son r_1, r_2, tal que x^2 - ax + b = (x - r_1)(x - r_2), entonces a = r_1 + r_2 y b = r_1 r_2 son funciones simétricas de las raíces. La Teoría de Galois usa los grupos de permutaciones para estudiar las simetrías de las funciones de las raíces.

El determinante que usamos en esta solución es similar a la determinante de Vandermonde que aparece en varias áreas de las matemáticas, incluyendo la teoría de de ecuaciones. El determinante de Vandermonde en tres variables es

Usted puede calcular una expresión para ese determinante de la misma forma que antes, y obtendrá (B-A)(C-A)(C-B).

El cuadrado de la Vandermonde determinante en cualquier número de variables es una función simétrica de sus variables. Si las variables son las raíces de un polinomio, el cuadrado se puede escribir en términos de los coeficientes de los el polinomio, y se llama el discriminante del polinomio ("discriminante" porque le indica si el polinomio tiene raíces repetidas).

Puedes leer más acerca de las funciones simétrica, la teoría de ecuaciones, Teoría de Galois, y el factor determinante de Vandermonde en la mayoría de los libros de Algebra Abstracta, por ejemplo en el libro de Clark se citan a continuación.

Referencias

• (en inglés) Allan Clark, Elements of Abstract Algebra, Dover, 1984.
• Wikipedia tiene un artículo sobre polinomios simétricos.