Dibujar una Línea

Demostrar que, dado cualquier conjunto finito de puntos P_1, P_2, ..., P_n en un plano (con n > 1), o todos los puntos se encuentran en la línea misma o existe una pareja P_i, P_j tal que la línea pasando por P_i y P_j no pasa por ningún otro punto de la serie.

Este problema parece intuitivamente obvio y probablemente piensa que es fácil de resolver, pero ....

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Sugerencia 1

Si trabajamos con algunos ejemplos, veremos que hay muchas líneas que contienen solamente dos puntos, pero ¿cómo se puede demostrar en general que existe al menos una? En cierto sentido, tenemos muchas más líneas de lo que necesitamos. Piensa en alguna forma de distinguir una de las dos líneas de punto (una propiedad única que tiene) y luego demostrar que cualquiera línea con esta característica especial es una línea que pasa por solamente dos puntos.

Sugerencia 2

Sea S el conjunto de líneas que pasan por al menos dos de los puntos dados. Entonces el conjunto S es finito. Consideremos el conjunto de parejas (L, P_i), donde L es en S, y P_i no es en L. Hay sólo un número finito de estos parejas. Elija uno parejas tal que el distancia entre L y P_i es tan pequeño como sea posible. Entonces L es nuestro línea "distinguida"; demostrar que L no puede contener más que dos puntos.

Sugerencia 3

Véase el dibujo. Podemos renumerar los puntos si es necesario de tal manera que P_1 es el punto más cercano a L. Escribir Q para el punto en L más cercano a P_1. Suponer que L no tiene la propiedad deseada, y por lo que hay por lo menos tres puntos en L. Entonces, al menos, dos de ellos están en el mismo lado de Q. Podemos renumerar los puntos si es necesario tal que son P_2 y P_3 (se nota que P_2 podría coincidir con Q). Luego dibujar la línea a través de P_1 y P_3. Demostrar que P_2 está más cerca de la nueva línea que P_1 está a L, lo que contradice la elección de la P_1 y L.

El Resto de la Respuesta

Véase el dibujo. Tenemos que P_2B es más corto que P_2A porque el primero es uno de los lados y la segunda es la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Tenemos que P_2A o coincide con QP_1 o es más corta de ella porque son lados correspondientes de los triángulos semejantes P_3P_2A y P_3QP_1.

Referencias

• Martin Aigner y Günter M. Ziegler, EL LIBRO de las Demostraciones , Nivola Libros y Ediciones, Tres Cantos (Madrid), 2005. Capítulo 9, "Rectos en el plano y descomposición de grafos" (pp. 53-57). Nuestra demostración se debe a L. M. Kelly y viene de este capítulo. Este resultado se conoce como el teorema de Sylvester-Gallai. Hay una prueba totalmente diferente en el capítulo 11, "Tres aplicaciones de la fórmula de Euler" (sobre poliedros), pp. 65-70.
• Véase también este traducción del articulo de Wikipedia sobre el Teorema de Sylvester-Gallai.