Sugerencia 3
Podemos arreglar de nuevo el término general para obtener
\begin{eqnarray}
&& \frac{(n-1)(2n-1)\cdots((k-1)n-1) r^{nk}}{k! n^k} \\
&=& \frac{(-1)^{k-1}(1-n)(1-2n)\cdots(1-(k-1)n) r^{nk}}{k! n^k} \\
&=& \frac{(-1)^{k-1} n^k (\frac{1}{n})(\frac{1}{n}-1)(\frac{1}{n}-2)\cdots(\frac{1}{n}-(k-1)) r^{nk}}{k! n^k} \\
&=& (-1)^{k-1} {\frac{1}{n} \choose k} r^{nk} = -{\frac{1}{n} \choose k} (-r^n)^k.
\end{eqnarray}
Por lo tanto, por el teorema del binomio, la suma es
x=-\sum_{k=1}^\infty {\frac{1}{n} \choose k} (-r^n)^k = 1 - \left( 1 - \frac{1}{r^n} \right)^{1/n}.
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El Resto de la Respuesta
Ahora vamos a investigar cuando x puede ser racional.
Escribimos r=b/c para números enteros
b y c.
Entonces la expresión para x
transpone a
(b-bx)^n + b^n = c^n.
Si x es racional,
entonces el primer término en la ecuación
es racional, y un número entero, por lo que tiene que ser un
n potencia perfecto de un número entero,
por ejemplo
a = bx - x,
entonces
a^n + b^n = c^n,
¡que es el Último Teorema de Fermat!
La implicación inversa es, que si hay tales números enteros
a,b,c
entonces podemos hallar un
x racional.
El problema de hallar
r
tal que
x
es racional es lo mismo que
el Último Teorema de Fermat. Hay dos caso:
- n > 2:
la única solución es r=0.
- n = 2:
las soluciones son r=b/c donde
b y c
es un equipo y la hipotenusa de un
triángulo rectángulo integral.
Series Irracionales
Considere estas series que parecen muy similares.
¿Son sus valores racionales o irracionales?
\begin{eqnarray}
&(1)&\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+n} \\
&(2)&\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+1} \\
&(3)&\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \\
&(4)&\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3} \\
&(5)&\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4} \\
&(6)&\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^5}
\end{eqnarray}
Serie (1) es racional, porque es una serie telescópica,
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+n}
= \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)
=1.
Serie (3) y serie (5) son irracional (de hecho son números trascendentes),
porque son, respectivamente, igual a
\pi^2/6
y
\pi^4/90
(un resultado famoso de Euler).
Serie (4) es irracional, como fue demostrado por
Roger Apéry en 1979.
Serie (2) y serie (6) aún se desconocen.
Es muy difícil determinar si una serie dada suma a un valor racional
o irracional. Un resultado general es que si la serie converge "rápidamente",
luego converge a un valor irracional. Por ejemplo, podemos demostrar que
e = \sum_{n=0}^\infty 1/n!,
la base de los logaritmos naturales,
es irracional porque la serie infinita converge rápidamente.
Otro ejemplo, descubierto por Liouville en 1851,
es que la serie
\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{k^{n!}}
donde
k
es un entero mayor que 1, converge a un valor trascendental
(estos fueron los primeros ejemplos conocidos de los números trascendentes).
Serie (3) por (6) son los valores particulares de la función zeta de Riemann
\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty 1/n^s
una función muy importante en el Teoría de Números Primos.
Euler descubrió una fórmula explícita para sus valores
cuando el argumento es un número entero par,
y que podemos decir de su fórmula de que los valores son trascendentales.
Euler y muchos otros trataron obtener una fórmula explícita para
la función zeta de argumento positivo en número entero impar,
pero nadie ha tenido éxito.
Apéry's demostración que serie (4) es irracional procede directamente de
de la serie, sin evaluarla.
En 2000 T. Rivoal anunció una prueba de que la función zeta es irracional
para un infinidad de los argumentos positivos enteros impares.
Referencias
-
Wikipedia tiene una demostración de la
irracionalidad de e.
-
Richard Courant y Herbert Robbins,
¿Qué Son Las Matemáticas? Conceptos y métodos fundamentales,
Fondo de Cultura Económica, Mexico D. F., 2002.
Tiene una demostración que es trascendente el número de Liouville en pp. 133-137.
-
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