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Una Función Saltando
Enviado por Deb de Rochester, Nueva York, el 26 de febrero de 2000.
Respuesta original y este artículo por Allen Stenger.
Dar un ejemplo de una función monótona en
[0,1]
que es discontinua en cada número racional.
Sugerencia 1
Acercarse sigilosamente, una discontinuidad a la vez.
Sugerencia 2
Podemos enumerar los racionales en el intervalo
[0,1]
en grupos por sus denominadores como
\begin{array}{lccccccc}
1: & 0/1 &&&&&& 1/1 \\
2: & &&& 1/2 &&& \\
3: & && 1/3 && 2/3 && \\
4: & & 1/4 && 2/4 && 3/4 &
\end{array}
y así sucesivamente. Para cada grupo, inventar una función monótona que es discontinua
en cada punto del grupo. ¿Entonces qué?
Sugerencia 3
Funciones escalonadas son las funciones más simples monótona con discontinuidades;
vamos a mantenerlo simple. Podemos hacer una función discontinua en el grupo
nésimo
por
f_n(x) = \frac{k}{n} \mathrm{\ para \ } \frac{k}{n} < x \le \frac{k+1}{n}.
Aquí están grafos de
f_2,
f_3, y
f_4 :
Ahora, ¿cómo podemos aprovechar de estas funciones simples para conseguir
una
función que es discontinua en
todos
números racionales?
Sugerencia 4
Una forma de combinar las funciones es añadirlas.
No podemos hacerlo aquí, porque la suma no converge,
pero podemos formar
f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{f_n(x)}{2^n}.
Demostrar que esta función es bien definida, monótona, y discontinua en cada racional.
Haga clic aquí para ver el resto de la respuesta.
El Resto de la Respuesta
Esta función es:
- Bien definida: tenemos
0 \le f_n(x) \le 1
y por lo tanto la suma converge en comparación con la serie geométrica
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}
- Monótona: si a < b entonces
f(a) = \sum_{n=1}^\infty \frac{f_n(a)}{2^n} \le \sum_{n=1}^\infty \frac{f_n(b)}{2^n} =f(b)
- Discontinua en cada racional:
si y > \frac{k}{m} entonces
f(y) - f\left( \frac{k}{m} \right)
= \sum_{n=1}^\infty \frac{f_n(y) - f_n(k/m)}{2^n}
\ge \frac{f_m(y) - f_m(k/m)}{2^m}
\ge \frac{1}{2^m} \; \frac{1}{m}
Una Función Continua, en Ninguna Parte Diferenciable
Sabemos que si una función tiene una derivada en un punto,
entonces es continua en ese punto.
La conversa no es cierto:
La función valor absoluto es continua en 0,
pero no tiene una derivada en 0, ya que tiene un "rincón" a 0.
¿Puede haber una función que es continua en todos los puntos,
pero no diferenciable en ningún punto?
¡Sí, puede!
Podemos explotar la misma idea que hemos utilizado en el problema original
para definir una función continua que no es diferenciable en ningún punto.
La primera función de este tipo fue inventado por Karl Weierstrass en 1861,
y el ejemplo siguiente fue inventado por John McCarthy en 1953.
Definir
g(x) =
\begin{cases}
1+x & \text{para $-2 \le x \le 0$} \\
1-x & \text{para $0 \le x \le 2$}
\end{cases}
y periódicamente fuera de este intervalo.
Definir
f(x) = \sum_{n=1}^\infty 2^{-n} g\left(2^{2^n} x\right).
Vea si puede descubrir la manera de demostrar que no es diferenciable
en ningún punto.
Referencias
- (en inglés) John McCarthy, "An Everywhere Continuous Nowhere Differentiable Function,"
American Mathematical Monthly, vol. 60 (1953), p. 709.
También en
A Century of Calculus,
Part I, ed. Tom M. Apostol et al., Mathematical Association of America, 1969, p.156.
Demostración de que el ejemplo dado arriba no es diferenciable en ninguna parte.
También disponible en web
aquí.
- (en inglés) Haga clic
aquí para ver el problema enviado por Deb.
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