El Caso de los Mangos que Faltan

Un rey tenía hambre una noche y bajó a buscar comida ... Vio algunos mangos en un plato y tomó 1/6 de ellos ... Entonces su mujer bajó las escaleras y tomó 1/5 de los mangos restantes ... Entonces su hijo vino y tomó 1/4 de los mangos restantes ... Entonces, su hijo mayor tomó 1/3 de los mangos restantes ... En conclusión su hijo más joven bajó y tomó 1/2 de los mangos restantes ... Ahora hay 3 mangos restantes ... ¿Cuántos mangos estaban en el plato al principio?

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Sugerencia 1

Trabajar al revés desde el número de mangos restantes finalmente.

Sugerencia 2

El hijo menor tomó 1/2 de los mangos que vio, dejando 1/2 de los que él vio, o 3 mangos. Por lo tanto el número que vio fue 3/(1/2) = 6 mangos. Siga trabajando al revés.

El Resto de la Respuesta

• El hijo menor tomó 1/2 de los mangos que vio, dejando 1/2 de los que él vio, o 3 mangos. Por lo tanto el número que vio fue 3/(1/2) = 6 mangos.
• El hijo mayor tomó 1/3 de los mangos que vio, dejando 2/3 de los que vio, o 6 mangos. Por lo tanto el número que vio fue 6/(2/3) = 9 mangos.
• El primer hijo tomó 1/4 de los mangos que vio, dejando 3/4 de los que vio, o 9 mangos. Por lo tanto el número que vio fue 9 / (3 / 4) = 12 mangos.
• La mujer tomó 1/5 de los mangos que vio, dejando 4/5 de los que ella vio, o 12 mangos. Por lo tanto el número que vio fue 12/(4/5) = 15 mangos.
• El rey tomó 1/6 de los mangos que vio, dejando 5/6 de los que vio, o 15 mangos. Por lo tanto el número que vio fue 15/(5/6) = 18 mangos.

Revise su trabajo, trabajando hacia adelante:

• El rey tomó 1/6 de las 18, dejando 15
• La mujer tomó 1/5 de 15, dejando 12
• El primer hijo tomó 1/4 de 12, dejando 9
• El hijo mayor tomó 1/3 de 9, dejando 6
• El hijo menor tomó 1/2 de 6, dejando 3

Trabajar al Revés

En este problema se inició con un cantidad desconocido de mangos, se encontraron algunos otros cantidades desconocidos de mangos, hasta que finalmente tuvimos 3 mangos. Para resolver el problema trabajamos al revés: Comenzamos con el número final de mangos y trabajamos atrás en el tiempo hasta que llegamos a un número definido de mangos en el principio.

Si usted sabe álgebra podría tener resuelto el problema así: Sea M el numero de mangos en el principio. El rey toma 1/6 de estos, o (1/6) M, dejando (5/6) M. La mujer toma 1/5 de estos, dejando (4/5)(5/6)M = (4/6)M. Seguimos así, hasta que llegamos a la conclusión de que el hijo menor deja (1/6)M. Como también sabemos que se dejan 3 mangos, sabemos que (1/6)M = 3, que podemos resolver como M = 18. En cierto modo esto es también trabajar al revés de (1/6)M = 3 a M = 18. Esto funciona porque la relación algebraica muy simple entre cada paso nos permite simplificar a medida que avanzamos y obtener una ecuación algebraica que podemos resolver.

Pólya da otro ejemplo: Si tiene que recoger exactamente 6 litros de agua de un río, y tiene sólo recipientes de 9 litros y de 4 litros, que no tienen marcas de volumen, ¿cómo lo hace? Al trabajar hacia atrás: Habrán varios pasos, y después del último paso tendrá 6 litros en el recipiente de 9 litros. ¿Cuál sería en los recipientes antes de este paso? ¿Y qué sería en los los recipientes el paso antes de eso?

Referencias

• George Pólya, Cómo Plantear y Resolver Problemas, Editorial Trillas, México, D.F., 1965. "Razonamiento regresivo", pp. 174-179.
• (en inglés) Haga clic aquí para ver el problema original enviado por Tina.