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El Problema de Agujero
Enviado por Richard Fisher, el 15 de marzo de 1997.
Respuesta original por Valerio De Angelis;
este artículo por Allen Stenger.
Un agujero de 6 centímetros de largo se perfora a través de una esfera de radio
R
para formar un anillo.
(Ver el dibujo abajo; el anillo es 6 centímetros de altura y
10 centímetros de un lado a otro, y
R
es 5 centímetros.)
Hallar una expresión para el volumen del anillo.
¿Hay algo destacable de este resultado?
Sugerencia 1
El anillo es un sólido de revolución.
Sugerencia 2
Puede hallar la volumen por el método de casquillos o de discos,
pero el método de discos es mas fácil.
Poner el anillo en su lado, y girar en torno a la eje x.
El anillo está formado por rotación de la zona delimitada por el semicírculo
x^2 + y^2 = R^2,
y \ge 0
y la línea de ancho 6 que la corte, alrededor del eje x.
Escribimos
y_c
para el valor y en el círculo, y
y_l
para el valor y del recto.
Entonces el volumen del anillo es
\pi \int_{-3}^3 (y_c^2 - y_l^2) \, dx
= \pi \int_{-3}^3 (R^2 - x^2) - (R^2 - 9) \, dx
= \pi \int_{-3}^3 (9 - x^2) \, dx
= 36 \pi \mathrm{\ cm^3}.
¿Qué es sorprendente en este resultado?
Haga clic aquí para ver el resto de la respuesta.
El Resto de la Respuesta
El volumen es independiente de
R;
no importa cuán grande es la esfera, el anillo tiene el mismo volumen.
Para las esferas de gran tamaño, el anillo es muy grande en diámetro,
pero el material es muy delgado,
y estos dos factores exactamente compensan uno para el otro,
manteniendo constante el volumen.
¿Es esto una curiosidad - una situación única?
No. Hay muchas figuras de la revolución,
definido por la intersección de dos secciones cónicas,
que tienen propiedades similares:
el volumen es independiente de algunos de los parámetros que definen las curvas.
En nuestro ejemplo las secciones cónicas son un círculo y una línea,
y el volumen sólo depende de la altura
(en nuestro dibujo, en la medida x)
de la intersección y no en las curvas, donde se colocan.
El artículo de Alexanderson y Kosinski que se citan abajo
da una tabla de muchas combinaciones con esta propiedad.
Referencias
- (en inglés) Morris Kline,
Calculus: An Intuitive and Physical Approach,
Dover, 1998. Ejercicio 5 de la página 447 da el problema en el
formulario que se utiliza aquí, pidiendo
"Es notable la respuesta en ningún sentido?".
- (en inglés) G. L. Alexanderson y L. F. Kosinski,
"Some Surprising Volumes of Revolution",
Two Year College Math Journal,
v. 6 no. 3 (1975) pp. 13-15.
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