Usted llega a una reunión y tiene que sentarse en una mesa grande redonda
donde hay tres personas sentados, a quienes tiene una aversión fuerte.
¿Dónde debe poner la silla para que,
cuando se suman las distancias más cortas por el borde de la mesa de si mismo
a cada uno de estos "asquerosos",
la distancia total que se obtiene es lo más grande posible?
(Los "asquerosos" ya están sentados, y usted no tiene control sobre su ubicación.)
Sugerencia 3
En este dibujo, el total de las distancias a A1 y A3 no cambia cuando usted mueve su silla.
Si se mueve un poco hacia la izquierda, está un poco más cerca de A1,
pero la misma cantidad más lejos de la A3, así que estos cambios se cancelan mutuamente.
Si usted cambia un poco a la derecha, usted es un poco más cerca de A3,
pero la misma cantidad más lejos de A1, por lo que estos cambios también se anulan.
La única distancia que hace una diferencia es la distancia a A2.
Asumiendo que no mueve mas allá de A1 y A3,
¿cuál es la mejor posición para sentarse?
Sugerencia 4
La mejor posición es directamente opuesta A2.
Recuerde que medimos la distancia más corta alrededor de la mesa,
así que si mueve un poco a la izquierda va a encontrar más cerca de A2
(porque se está midiendo a lo largo de la izquierda),
y lo mismo si te mueves un poco a la derecha también se acerca a A2.
Por lo tanto la mejor posición es exactamente en el centro, independientemente de donde están A1 y A3.
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El Resto de la Respuesta
En el problema general, hay tres casos de acuerdo a cuántas Asquerosos se encuentran en cada lado
de la línea central:
Si todos los Asquerosos están en un lado de la línea central,
entonces moviendo un poco hacia el otro lado aumenta la distancia total.
Por lo tanto no hemos alcanzado el punto óptimo.
Si dos Asquerosos están en un lado, entonces moviendo un poco hacia el otro lado aumenta
la distancia total, porque moviendo una pequeña "unidad" añade dos unidades de distancia
de los de la izquierda y perder solamente una unidad de la distancia a la derecha.
No estamos en el óptimo.
Si un Asqueroso está justo enfrente,
entonces pequeños movimientos a ambos lados disminuye la distancia total,
porque se mueve más cerca del Asqueroso contrario,
aunque se está moviendo más lejos de uno de los Asquerosos del otro lado,
se está moviendo a la misma distancia más cerca del otro lado Asqueroso,
por lo que estos cambios cancelar y solamente la distancia al Asqueroso contrario.
Por lo tanto, pueden estar en un óptimo
(usted sabe que tiene por lo menos en un extremo relativo de la distancia,
porque cualquier cambio disminuye la distancia).
Conclusión:
Sólo posiciones justo enfrente de un Asqueroso puede ser óptimo.
Puesto que hay un número finito (es decir, tres) de tales posiciones,
usted puede determinar, por comparando las tres distancias,
que es el óptimo verdadero ("máximo absoluto").
Principios Variacionales
Casi todos los tipos de problemas de optimación dependerá de considerar una pequeña variación
en las condiciones actuales,
como la que usamos aquí en deslizando la silla un poco de lado o el otro.
Si conoces el cálculo probablemente usted recuerde la condición para un mínimo local o máximo:
buscar puntos en los que
f'(x)=0.
Esto es simplemente una fórmula que expresa el principio variacional:
si la derivada no es 0, entonces al cambiar un poco a la izquierda o a la derecha
se puede obtener un valor más grande o más pequeña para la función.
Hay toda una rama de las matemáticas , el cálculo de variaciones,
que explota este principio para encontrar óptimos,
Se ocupa específicamente de las cantidades que se definen por integrales,
por ejemplo, áreas de figuras planas y las longitudes de las curvas.
El método simplex de programación lineal también utiliza un método variacional.
Sabemos, gracias a la geometría de los problemas,
que el óptimo ocurrirá en un vértice del conjunto permitido,
y la tabla simplex es un método sistemático para la valoración de otros vértices cercanos
para ver si uno produce un mejor resultado.
Referencias
- (en inglés) Donald A. Pierre,
Optimization Theory With Applications,
Dover, 1986.
- (en inglés) Haga clic
aquí
para ver el problema original enviado por Al.
