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Diferencia de Raíces Cuadradas
Enviado por Billy de Montreal, Quebec, el 4 de marzo de 2000.
Respuesta original por Carl Johan Ragnarsson; este artículo por Allen Stenger.
Demostrar que para cualquier n \ge 1
el número (\sqrt{2}-1)^n
se puede escribir como la diferencia de las raíces cuadradas
de dos números enteros consecutivos.
Sugerencia 1
Verificar el resultado para los primeros valores de
n.
¿Hay algún patrón?
Sugerencia 2
Aquí están las primeras 5 potencias:
\begin{eqnarray}
(\sqrt{2}-1)^1 &=& \sqrt{2} - 1 = \sqrt{2} - \sqrt{1} \\
(\sqrt{2}-1)^2 &=& -2\sqrt{2} +3 = \sqrt{9} - \sqrt{8} \\
(\sqrt{2}-1)^3 &=& 5\sqrt{2} - 7 = \sqrt{50} - \sqrt{49} \\
(\sqrt{2}-1)^4 &=& -12\sqrt{2} + 17 = \sqrt{289} - \sqrt{288} \\
(\sqrt{2}-1)^5 &=& 29\sqrt{2} - 41 = \sqrt{1682} - \sqrt{1681} \\
\end{eqnarray}
Si las escribimos en orden opuesta hay un patrón bonito:
\begin{eqnarray}
(1-\sqrt{2})^1 &=& 1 - \sqrt{2} = \sqrt{1} - \sqrt{2} \\
(1-\sqrt{2})^2 &=& 3 -2\sqrt{2} = \sqrt{9} - \sqrt{8} \\
(1-\sqrt{2})^3 &=& 7 - 5\sqrt{2} = \sqrt{49} - \sqrt{50} \\
(1-\sqrt{2})^4 &=& 17 -12\sqrt{2} = \sqrt{289} - \sqrt{288} \\
(1-\sqrt{2})^5 &=& 41 - 29\sqrt{2} = \sqrt{1681} - \sqrt{1682} \\
\end{eqnarray}
Mirando estos ejemplos,
parece que el resultado es correcto,
y de hecho la raíz cuadrada primera es la raíz cuadrada de un cuadrado perfecto.
¿Ve usted alguna relación entre los números para potencias diferentes?
Sugerencia 3
Escribimos
(1-\sqrt{2})^n = A_n - B_n\sqrt{2}.
De la tabla parece que cada valor de
A
es aproximadamente el doble del valor anterior,
y de hecho parece que la diferencia es
A_{n+1} - 2A_n = A_{n-1}.
También parece que
B_{n+1} = B_n + A_n \quad \mathrm{\ y \ } \quad A_{n+1} = A_n + 2B_n.
¡Esta tabla está llena de recurrencias!
¿Puede demostrar algunos?
Sugerencia 4
Como lo que nos interesa (una potencia) tiene una definición recursiva,
podemos usar la definición para demostrar estas recursiones:
\begin{eqnarray}
A_{n+1} - B_{n+1} \sqrt{2} &=& (1 - \sqrt{2})^{n+1} \\
&=& (A_n - B_n \sqrt{2})(1 - \sqrt{2}) \\
&=& (A_n + 2B_n) + (B_n + A_n)\sqrt{2},
\end{eqnarray}
y por tanto
B_{n+1} = B_n + A_n \quad \mathrm{\ y \ } \quad A_{n+1} = A_n + 2B_n.
Ahora demostrar que la diferencia de los cuadrados es de 1 o -1.
Haga clic aquí para ver el resto de la respuesta.
El Resto de la Respuesta
Se procede por la recursión: Si el resultado es verdad para
n,
entonces
\begin{eqnarray}
(A_{n+1}^2 - 2B_{n+1}^2) &=& (A_n + 2B_n)^2 - 2(B_n+A_n)^2 \\
&=& (A_n^2 + 4A_n B_n + 4B_n^2) - 2(B_n^2 + 2A_n B_n + A_n^2) \\
&=& -A_n^2 + 2B_n^2 \\
&=& -(A_n^2 - 2B_n^2) \\
&=& \pm 1.
\end{eqnarray}
¿Es Este un Resultado Sorprendente?
¿Qué propiedad especial tiene
\sqrt{2}-1,
tal que sus potencias son siempre la diferencia
de las raíces cuadradas de dos enteros consecutivos?
Es fácil ver que cualquier potencia de
\sqrt{2}-1
tiene la misma propiedad; ¿hay otros tipos de números con esta propiedad?
¡Sí! Aquí son algunos números aún más improbable con esta propiedad:
\begin{gather}
(\sqrt{3} - 2)^n \\
(8 - 3\sqrt{7})^n \\
(1766319049 - 226153980 \sqrt{61})^n
\end{gather}
¿Qué pasa aquí?
Podemos tener una mejor comprensión
por estudiar el problema desde el otro lado.
En nuestra demostración hemos tratado con una ecuación de la forma
A^2 - NB^2 = 1
(para N=2).
Podemos factorizar esta expresión como
(A - B\sqrt{N})(A + B\sqrt{N}) = 1
y elevar cada término a una potencia
(A - B\sqrt{N})^n (A + B\sqrt{N})^n = 1
Cuando se multiplican estas potencias,
usted verá que los términos tienen la forma
(C - D\sqrt{N})(C + D\sqrt{N}) = 1
es decir,
C^2 - ND^2 = 1
En otras palabras,
cualquiera solución de esta ecuación conduce a soluciones adicionales,
por elevando una cierta expresión a una potencia,
y todos los potencias de esta expresión son
la diferencia de las raíces cuadradas de dos números enteros consecutivos.
La ecuación
A^2 - NB^2 = 1
se llama la ecuación de Pell,
y se ha estudiado mucho en la Teoría de Números.
Hay mucho más conocido en relación con recursiones,
aproximaciones racionales de las raíces cuadradas,
y fracciones continuas.
Referencias
- (en ingles) Haga clic
aquí
para ver la pregunta original enviado por Billy.
- Wikipedia tiene un artículo sobre la
ecuación de Pell.
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